Bài viết khuyên bảo phương pháp áp dụng tích phân để tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi vì ba con đường cong, đấy là dạng toán thù hay gặp mặt vào chương trình Giải tích 12 chương thơm 3: Nguyên ổn hàm – Tích phân và Ứng dụng.

Bạn đang xem: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁNCách 1:+ Tính hoành độ giao điểm của từng cặp đồ gia dụng thị.+ Chia diện tích hình phẳng thành tổng của những diện tích hình phẳng giới hạn do nhị đồ vật thị.Cách 2:+ Vẽ các đồ dùng thị bên trên và một hệ trục tọa độ.+ Từ trang bị thị chia diện tích hình phẳng thành tổng của các diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vày hai vật thị.

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌAví dụ như 1: gọi $S$ là diện tích S hình phẳng giới hạn vị đồ vật thị cha hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$ (phần gạch chéo vào mẫu vẽ bên).

*

Khẳng định như thế nào sau đây đúng?A. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$B. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$C. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$D. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$

Lời giải:Từ đồ gia dụng thị ta có:

*

$S = S_1 + S_2$ $ = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn do các con đường $y = – x^2 + 3x$, $y = x + 1$, $y = – x + 4$ bằng:A. $frac112.$B. $frac16.$C. $frac14.$D. $frac13.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$ – x^2 + 3x = x + 1$ $ Leftrightarrow – x^2 + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$$ – x^2 + 3x = – x + 4$ $ Leftrightarrow – x^2 + 4x – 4 = 0$ $ Leftrightarrow x = 2.$$x + 1 = – x + 4$ $ Leftrightarrow 2x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_1^frac32 dx $ $ + int_frac32^2 left $ $ = int_1^frac32 (x – 1)^2 dx$ $ + int_frac32^2 (x – 2)^2 dx.$$ = left. frac(x – 1)^33 ight|_1^frac32$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac32^2$ $ = frac112.$Chọn giải đáp A.

Ví dụ 3: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi các mặt đường $y = 2x^2$, $y = fracx^24$, $y = frac54x$ bằng:A. $frac632 – 54ln 2.$B. $54ln 2.$C. $ – frac632 + 54ln 2.$D. $frac634.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$2x^2 = fracx^24 Leftrightarrow x = 0.$$2x^2 = frac54x Leftrightarrow x = 3.$$fracx^24 = frac54x Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 left $ $ + int_3^6 left $ $ = left| int_0^3 left( 2x^2 – fracx^24 ight)dx ight|$ $ + left| int_3^6 left( frac54x – fracx^24 ight)dx ight|.$$ = left| _0^3 ight| + left| left. left( 54ln x – fracx^312 ight) ight ight|$ $ = 54ln 2.$Chọn lời giải B.

lấy một ví dụ 4: Diện tích hình phẳng giới hạn vì chưng những con đường $y = e^x$, $y = 3$, $y = 1 – 2x$ bằng:A. $5 – 3ln 3.$B. $3ln 3 – 5.$C. $3ln 3 – 1.$D. $S = 3ln 3 + 2e – 5.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$e^x = 3 Leftrightarrow x = ln 3.$$3 = 1 – 2x Leftrightarrow x = – 1.$$e^x = 1 – 2x$ $ Leftrightarrow e^x + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ (vì $f(x) = e^x + 2x – 1$ đồng trở nên trên $R$ và $x=0$ là một trong những nghiệm của phương trình $e^x + 2x – 1 = 0$).Diện tích:$S = int_ – 1^0 left $ $ + int_0^ln 3 dx .$$ = left| int_ – 1^0 (2 + 2x)dx ight|$ $ + left| int_0^ln 3 left( 3 – e^x ight)dx ight|.$$ = 3ln 3 – 1.$Chọn giải đáp C.

lấy ví dụ như 5: Diện tích hình phẳng giới hạn vì các con đường $y = sqrt x $, $y = 2 – x$, $y = 0$ bằng:A. $frac43.$B. $frac76.$C. $frac16 + frac4sqrt 2 3.$D. $frac133.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$sqrt x = 2 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 2\x = (2 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 1.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^1 | sqrt x – (2 – x)|dx$ $ + int_1^2 | 2 – x|dx$ $ = left| int_0^1 (sqrt x – 2 + x) dx ight|$ $ + left| int_1^2 (2 – x)dx ight|.$$ = left| _0^1 ight|$ $ + left| _1^2 ight|$ $ = frac43.$Chọn câu trả lời A.

lấy ví dụ như 6: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn do parabol $(P):y = x^2 – x – 2$ với các tiếp tuyến của $(P)$ trên các giao điểm của $(P)$ với trục hoành bằng:A. $frac634.$B. $frac638.$C. $frac1178.$D. $frac94.$

Lời giải:Viết những tiếp tuyến:$y = x^2 – x – 2$ $ Rightarrow y’ = 2x – 1.$Phương thơm trình hoành độ giao điểm của $(P)$ cùng với $Ox:$$x^2 – x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – 1\x = 2 Rightarrow y"(2) = 3endarray ight..$Tại $M( – 1;0)$, $y"( – 1) = – 3$, phương trình tiếp tuyến là: $y=-3x-3.$Tại $N(2;0)$, $y"(2) = 3$, phương trình tiếp con đường là: $y = 3x – 6.$Tìm các hoành độ giao điểm:$x^2 – x – 2 = – 3x – 3$ $ Leftrightarrow x = – 1.$$x^2 – x – 2 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = 2.$$ – 3x – 3 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = frac12.$Diện tích:$S = int_ – 1^frac12 x^2 – x – 2 – ( – 3x – 3) ight $ $ + int_frac12^2 dx .$$ = int_ – 1^frac12 (x + 1)^2 dx$ $ + int_frac12^2 (x – 2)^2 dx$ $ = left. frac(x + 1)^33 ight|_ – 1^frac12$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac12^2$ $ = frac94.$Chọn giải đáp D.

lấy một ví dụ 7: Hình phẳng số lượng giới hạn vày vật dụng thị hàm số $y = 3x – x^2$ và $y = left{ eginarray*20l – fracx2& mkhi::x le 2\x – 3& mkhi::x > 2endarray ight.$ bao gồm diện tích S là:A. $S = frac23.$B. $S = frac83.$C. $S = 4.$D. $S = 6.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:

*

$3x – x^2 = – fracx2$ $(x le 2)$ $ Leftrightarrow x = 0.$$3x – x^2 = x – 3$ $(x > 2)$ $ Leftrightarrow x = 3.$$ – fracx2 = x – 3 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^2 left( 3x – x^2 + fracx2 ight)dx $ $ + int_2^3 left( 3x – x^2 – x + 3 ight)dx = 6.$Chọn lời giải D.

Ví dụ 8: hotline $S$ là diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn bởi vì những con đường $y = sqrt 3x $, $y = 6 – x$ và trục $Ox.$ Khẳng định như thế nào sau đấy là đúng?A. $S = int_0^6 (sqrt 3x – 6 + x)dx .$B. $S = int_0^6 sqrt 3x dx + int_0^6 (6 – x)dx .$C. $S = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$D. $S = int_0^6 (6 – x – sqrt 3x )dx .$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$sqrt 3x = 6 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l6 – x ge 0\3x = (6 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 3.$$sqrt 3x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$$6 – x = 0 Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 | sqrt 3x – 0|dx$ $ + int_3^6 | 6 – x – 0|dx$ $ = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$Chọn câu trả lời C.

III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn do nhánh đường cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, mặt đường thẳng $y = 3 – 2x$ với trục hoành bằng:A. $frac512.$B. $frac2312.$C. $frac78.$D. $frac712.$

Câu 2: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vị những con đường $y = sqrt 2x $, $y = 4 – x$ với trục $Ox$ bằng:A. $frac173.$B. $frac163.$C. $frac143.$D. $frac133.$

Câu 3: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vì chưng các con đường $y = x^3$, $y = 2 – x$ cùng $y = 0$ bằng:A. $frac34.$B. $frac114.$C. $frac72.$D. $frac52.$

Câu 4: gọi $S$ là diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn vày vật thị những hàm số $y = x^2$, $y = fracx^227$, $y = frac27x.$ Khẳng định làm sao sau đấy là đúng?A. $S = int_0^3 x^2 – fracx^227 ight $ $ + int_3^9 frac27x – fracx^227 ight .$B. $S = int_0^3 left $ $ + int_3^9 left .$C. $S = int_0^3 frac27x – fracx^227 ight $ $ + int_3^9 frac27x – x^2 ight .$D. $S = int_0^3 x^2 – frac27x ight $ $ + int_3^9 dx .$

Câu 5: Cho diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn do nhì nhánh đường cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, $y = 4x^2$ $(x ge 0)$ và đường trực tiếp $y=4$ bằng?A. $frac83.$B. $frac143.$C. $7.$D. $frac173.$

2. BẢNG ĐÁP. ÁN

Câu12345
Đáp ánDCAAA

3. HƯỚNG DẪN GIẢICâu 1: Pmùi hương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 3 – 2x$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$3 – 2x = 0 Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_0^1 dx $ $ + int_1^frac32 | 3 – 2x – 0|dx$ $ = frac712.$Chọn câu trả lời D.

Câu 2: Phương thơm trình hoành độ giao điểm:$sqrt 2x = 4 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 4\2x = (4 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 2.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$4 – x = 0 Leftrightarrow x = 4.$Diện tích:$S = int_0^2 | sqrt 2x – 0|dx$ $ + int_2^4 | 4 – x – 0|dx$ $ = frac143.$Chọn giải đáp C.

Câu 3: Pmùi hương trình hoành độ giao điểm:$x^3 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$$x^3 = 2 – x Leftrightarrow x = 1.$Diện tích:$S = int_0^1 dx $ $ + int_1^2 | 2 – x|dx = frac34.$Chọn giải đáp A.

Câu 4: Phương thơm trình hoành độ giao điểm:$x^2 = fracx^227 Leftrightarrow x = 0.$$fracx^227 = frac27x Leftrightarrow x = 9.$$frac27x = x^2 Leftrightarrow x = 3.$Diện tích: $S = int_0^3 dx $ $ + int_3^9 dx .$Chọn giải đáp A.

Xem thêm: Đà Lạt Mùa Nào Đẹp Nhất? Những Lưu Ý Khi Đi Du Lịch Đà Lạt Mùa Nào Đẹp Nhất ?

Câu 5: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 2.$$4x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 4x^2 Leftrightarrow x = 0.$Diện tích: $S = int_0^1 4x^2 – x^2 ight $ $ + int_1^2 4 – x^2 ight = frac83.$Chọn câu trả lời A.